Van tellen naar getallen #

In mijn beleveing zijn getallen in den beginne een concept om als mens duiding te kunnen geven aan hoeveelheden en grootheden die we tegenkomen in de wereld waarin we leven. Net zoals taal, en in het bijzonder letters en woorden, een concept is om duiding te kunnen geven aan waarnemingen en gedachten en om met elkaar te kunnen communiceren. Het meest eenvoudige voorbeeld hiervan is het tellen van objecten. Aangenomen dat we taal beheersen en hiermee dus de woorden kennen die we aan grootheden geven, kennen we bijvoorbeeld het verschil tussen één mens en twee mensen. Mensen zijn natuurlijk uniek, er bestaat er maar één van elk, maar we weten dat ze wel allemaal tot de soort mens behoren en dus kunnen we tellen hoeveel objecten er van deze soort op een bepaald moment op een bepaalde plek zijn.

Ik maak het hiermee wellicht nodeloos ingewikkeld, tellen beschouwen we immers als een algemeen bekende handeling, maar ik hecht veel waarde aan het heel precies zijn bij aanvang van het bestuderen van een bepaald begrip. Om te voorkomen toch te veel af te dwalen naar de filosofische kant van het geheel ga ik er in het vervolg vanuit dat we een goed gevoel hebben bij wat we met hoeveelheden en grootheden in het algemeen bedoelen.

Getallen zijn dus een concept dat buiten de werkelijkheid ligt en enkel betekenis heeft in ons brein. Het komt niet voor in de natuur, maar is ontsproten aan ons brein om zaken uit de natuur te omschrijven en het communiceren te vergemakkelijken. Waar over het algemeen tevredenheid heerst wanneer mensen elkaar begrijpen en van elkaar weten wat ze bedoelen, met bijvoorbeeld getallen, zoekt men in de wiskunde naar het formaliseren en veralgemeniseren van dergelijke zaken.

Notatie #

Het is moeilijk voor te stellen geen enkel begrip te hebben van het noteren van getallen zoals we dat vandaag de dag doen. Net zoals het ondenkbaar is het zonder taal te moeten doen in ons leven. Het voelt zelfs onnatuurlijk aan om het getal aan het begin van de volgende alinea als woord uit te schrijven in plaats van de symbolen te gebruiken die we daar nu eenmaal voor gebruiken danwel een voorstelling van dit getal te maken zonder deze symbolen.

Tot zo’n vijfduizend jaar geleden had de mensheid waarschijnlijk enkel nog het turven in haar spreekwoordelijke gereedsschapskist om hoeveelheden te noteren. Tussen toen en nu zijn er bij allerlei verschillende volkeren over de hele aardbol heel veel verschillende manieren geweest waarop getallen werden genoteerd die ik voor nu buiten beschouwing laat. Ik ga hier enkel dieper in op de huidige notatie van getallen. Maar niet zonder opgemerkt te hebben dat een getal onafhankelijk is van de manier waarop die wordt genoteerd. Net zoals een mens een mens blijft, ook al gaan we het anders noemen.

Decimale cijferstelsel #

Cijfers zijn symbolen om getallen mee te kunnen representeren, zoals letters symbolen zijn waar we woorden mee kunnen maken. Alhoewel het niet noodzakelijk is om over cijfers te beschikken om getallen te noteren, is het wel een handig hulpmiddel.

Vandaag de dag weten we niet beter dan dat we getallen schrijven in het decimale (of tiendelige) cijferstelsel, waarbij we dus gebruik maken van tien cijfers om getallen te vormen. Dit zijn de cijfers \( 0 \) , \( 1 \) , \( 2 \) , \( 3 \) , \( 4 \) , \( 5 \) , \( 6 \) , \( 7 \) , \( 8 \) en \( 9 \) . We gebruiken nu eenmaal deze symbolen, maar ze hadden er net zo goed anders uit kunnen zien. De woorden die we voor deze symbolen gebruiken veronderstel ik overigens als algemeen bekend. In de symbolen voor één, twee en drie zien we nog het turven terug. Het symbool voor één is duidelijk een rechtopstaand streepje en de symbolen voor twee en drie zijn vervormingen van verticaal geordende liggende streepjes.

Om de getallen \( 0 \) tot en met \( 9 \) te representeren in het decimale cijferstelsel gebruiken we simpelweg de cijfers zelf. Voor grotere getallen maken we een horizontale rij van meerdere cijfers, waarbij we rechts beginnen met een cijfer die staat voor het aantal éénheden, links daarnaast een cijfer die staat voor het aantal tienvouden, weer links daarnaast een cijfer die staat voor het aantal honderdvouden, enzovoort. In de ontstaansgeschiedenis van deze notatie is nou eenmaal ooit gekozen om deze rij van rechts naar links op te bouwen in plaats van van links naar rechts zoals wij in onze taal met woorden en zinnen gewend zijn, andersom had natuurlijk net zo goed gekund en was in ons taalgebied wellicht voor de hand liggender geweest. Bovendien had het ook verticaal kunnen zijn, of nog weer anders, zoals gezegd had dat de betekenis van een getal niet anders gemaakt.

Deze rij, de notatie van een getal in het decimale cijferstelsel, noemen we een decimaal cijfer. Als we verder tellen na negen is tien het eerste getal dat we tegenkomen, hier hebben we geen los cijfer voor en dus moeten we zoals gezegd een rij construeren van meerdere cijfers, in dit geval twee, om het weer te kunnen geven in het decimale cijferstelsel. Het getal tien wordt \( 10 \) als decimaal cijfer, één maal een tienvoud en nul maal een eenheid. En elf, het daaropvolgende getal als we verder tellen, wordt dan dus \( 11 \) als decimaal cijfer, één maal een tienvoud en één maal een eenheid. Als we zo verder redeneren houdt het bij \( 99 \) op met de rijen van twee cijfers en komen we met \( 100 \) bij de eerste rij van drie cijfers.

Op de pagina Natuurlijke getallen wordt dieper ingegaan op de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen van natuurlijke getallen, maar aangenomen dat we weten hoe deze bewerkingen werken, representeert de rij ofwel het decimale cijfer \( x_{n} x_{n-1} \dots x_{1} x_{0} \) bestaande uit \( n \) cijfers dus het getal \( x_{n}\times 10^{n} + x_{n-1}\times 10^{n-1} + \dots + x_{1}\times 10^{1} + x_{0}\times 10^{0} \) . Een voorbeeld: het decimale cijfer \( 2024 \) representeert dus het getal \( 2\times 10^{4} + 0\times 10^{3} + 2\times 10^{1} + 4\times 10^{0} \) , twee duizendvouden, nul honderdvouden, twee tienvouden en vier eenheden.

Vervolg #

Het vervolg van deze pagina is nog onder constructie.