Natuurlijke getallen

Definitie #

Op de pagina Getallen heb ik getallen en in het bijzonder natuurlijke getallen geïntroduceerd. Met de natuurlijke getallen bedoelen we de grootheid of hoeveelheid die we verkrijgen bij een telling van een eindig aantal objecten. We hadden ze daarom ook telgetallen kunnen noemen, maar de term natuurlijk slaat op het feit dat we als mensheid een aangeboren begrip hebben voor deze getallen en het gebruik ervan. Op het eerste gezicht lijkt dit daarom ook al een fundamentele defintie te zijn van waaruit we bijvoorbeeld verder kunnen werken om zaken als optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen te kunnen definiëren. In woordelijke zin is dit ook niet onwaar, maar alleen bij het woordelijke blijven is niet de meest strikte werkzijze en leidt gemakkelijk tot multi-interpretabele definities, hetgeen juist gepoogd wordt te omzeilen bij de formalisering van wiskundige ideeën. Het is dan ook niet verbazingwekkend dat er fundamentelere ingrediënten bedacht zijn waarmee de verzameling van natuurlijke getallen strikter geconstrueerd kan worden. Voor de uiteenzetting hiervan heb ik inspiratie gehaald uit [1] en [2].

Een verzameling is een collectie van verschillende objecten. Stel dat \( X \) een verzameling is en \( x \) een element uit die verzameling, noteren we dat als \( x \in X \) .

Als we de natuurlijke getallen bij de hand nemen, zien we dat we een (oneindige) serie van getallen hebben die elkaar opvolgen en een beginpunt hebben, namelijk het getal nul. Al is soms dit beginpunt stof voor discussie, omdat sommigen het getal één als beginpunt nemen en nul buiten beschouwing laten. Maar mijn gevoel zegt toch echt dat nul het beginpunt is.

Voorkennis #

Om veronderstellingen, ookwel axioma’s genoemd, op te kunnen stellen van waaruit we de natuurlijke getallen kunnen construeren, hebben we de notie van een functie nodig die de genoemde opvolgeigenschap van de natuurlijke getallen kan vangen. Met een relatie bedoelen we de beschrijving van een verband tussen de objecten van verschillende verzamelingen. Een functie is een relatie tussen twee verzamelingen die elk object uit de ene verzameling koppelt aan precies één object uit de andere verzameling. Deze twee verzamelingen kunnen ook één en dezelfde verzameling zijn. Anders gezegd is een functie dus een regel die aan een invoer uit de eerste verzameling een unieke uitvoer uit de tweede verzameling toekent. Een functie tussen de verzamelingen \( X \) en \( Y \) die een invoer \( x \in X \) kent, wordt vaak genoteerd als \( f: X \to Y: x \mapsto f(x) \) , waarbij \( f(x) \in Y \) dus de uitvoer is. De verzameling \( X \) heet het domein van \( f \) en de verzameling \( Y \) het codomein van \( f \) .

Het laatste stukje voorkennis dat we nodig hebben is de term gelijkheid. Gelijkheid is een relatie op een verzameling waarbij twee objecten uit deze verzameling gelijk worden genoemd als ze hetzelfde wiskundige object representeren. Dit wordt genoteerd met het symbool \( = \) . Als we bijvoorbeeld de twee getallen \( x \) en \( y \) beschouwen dan geldt er ofwel \( x=y \) ofwel \( x \neq y \) , waar dat laatste betekent dat \( x \) niet gelijk is aan \( y \) . Het is van belang dat we weten dat we \( x \) en \( y \) hier als getallen interpreteren en niet bijvoorbeeld als letters, immers zijn ze als letters niet gelijk aan elkaar, maar kunnen ze als getallen nog wel hetzelfde object representeren. Logischerwijs geldt er dat de gelijkheidsrelatie reflexief, symmetrisch en transitief is, dat wil zeggen dat er geldt:

  • \( x=x \) ;
  • als \( x=y \) dan \( y=x \) ;
  • als \( x=y \) en \( y=z \) dan \( x=z \) .

Om een ogenschijnlijk simpel begrip als natuurlijke getallen precies te kunnen maken, hebben we al meer noties van begrippen nodig dan je wellicht vooraf zou verwachten.

De axioma’s van Peano #

Voordat we de axioma’s beschrijven die de verzameling van natuurlijke getallen definiëren, merken we op dat de gebruikelijke notatie voor deze verzameling het symbool \( \N \) is.

Om te beginnen wilen we dat \( \N \) niet leeg is, om dit te garanderen veronderstellen we dat \( \N \) een element bevat. Hiervoor hebben we het eerste axioma:

  1. Er bestaat een element \( n \) zodanig dat \( n \in \N \) .

Vervolgens willen we de eerder genoemde opvolgeigenschap in axioma’s vangen. Om dit te bewerkstelligen veronderstellen we dat er een functie bestaat die precies deze eigenschap heeft. Hiervoor hebben we de onderstaande drie axioma’s. Waarbij de eerste het bestaan van deze functie veronderstelt, de tweede veronderstelt dat deze functie waarborgt dat specifiek het element \( n \) , waarvan de existentie door middel van axioma 1 gewaarborgd is, het beginpunt is en de derde veronderstelt dat deze functie waarborgt dat een element de opvolger is van hooguit één ander element.

  1. Er bestaat een functie \( f \) met domein \( \N \) zodanig dat als \( x \in \N \) dan \( f(x) \in \N \) .

  2. Er bestaat geen element \( x \in \N \) zodanig dat \( f(x)=n \) .

  3. Als \( f(x)=f(y) \) dan \( x=y \) voor alle \( x,y \in \N \) .

We hebben nu een serie van opeenvolgende elementen geconstrueerd, namelijk \( n,f(n), f(f(n)),\ldots \) die allemaal in de verzameling \( \N \) zitten en verschillend zijn van elkaar.

Echter is het met de bovenstaande axioma’s niet uitgesloten dat \( \N \) nog meer elementen dan dat bevat. Immers voldoen opzichzelfstaande lusjes van elementen die elkaar opvolgen, zeg \( x,f(x),f(f(x)),\ldots,f(\cdots(f(x))\cdots)\) waarvoor geldt \( f(\cdots(f(x))\cdots)=x \) , ook aan de bovenstaande axioma’s. Om deze lusjes uit sluiten, veronderstellen we dat de geconstrueerde serie \( n,f(n), f(f(n)),\ldots \) de hele verzameling \( \N \) is. Hiervoor hebben we het laatste axioma:

  1. Als \( X \) een verzameling van natuurlijke getallen is zodanig dat \( n \in X \) en bovendien als \( x \in X \) dan \( f(x) \in X \) dan \( X=\N \) .

De bovenstaande axioma’s worden de axioma’s van Peano genoemd, naar de wiskundige Peano die ze als zodanig heeft geformuleerd. Uit deze axioma’s volgt het bestaan van de natuurlijke getallen inclusief de eigenschappen die we zouden verwachten. Zoals op de pagina Getallen al beschreven, kennen we symbolen voor deze getallen. De elementen van de geconstrueerde serie \( n,f(n), f(f(n)),\ldots \) kennen we beter onder de schrijfwijze \( n=0 \) , \( f(n)=1 \) , \( f(f(n))=2 \) , enzovoort. De functie \( f \) wordt ook wel de opvolgerfunctie genoemd, vanaf nu zullen we deze functie zoals gebruikelijk is noteren als \( S \) .

Gevolgen #

Met behulp van de axioma’s van Peano kunnen we bewijzen dat bepaalde uitspraken die eigenschappen van de natuurlijke getallen omschrijven waar zijn. Dit soort uitspraken worden in de wiskunde vaak stellingen genoemd en het bewijs is aaneenschakeling van logische stappen waarbij gebruikt wordt gemaakt van het feit dat hetgeenwe verondersteld hebben in de axioma’s waar is, vervolgens kunnen deze stellingen op hun beurt zelf weer gebruikt worden om andere stellingen te kunnen bewijzen.

Onderstaande stelling is een voorbeeld van een uitspraak waarvan we de waarheid niet per definitie mogen aannemen, maar die we wel kunnen bewijzen met behulp van de opgestelde axioma’s. In woorden zegt deze uitspraak: geen enkel natuurlijk getal is de opvolger van zichzelf. De in de axioma’s veronderstelde eigenschappen van de opvolgerfunctie dragen er zorg voor dat deze zich precies gedraagt zoals onze intuïtie ons vertelt. Dit is niet verrassend te noemen, immers zijn de bovenstaande axioma’s precies zo opgesteld dat dit zo is. Het intuïtieve idee van de natuurlijke getallen was er eerst en bij het opstellen van een collectie van axioma’s is die ‘doen’ wat willen is net zolang gesleuteld totdat dit ook daadwerkelijk het geval was.

Stelling #

\( S(x) \neq x \) voor alle \( x \in \N \) .

Bewijs #

Stel dat \( X \) een verzameling van natuurlijke getallen is die alle elementen \( x \) bevat waarvoor geldt \( S(x) \neq x \) . Als gevolg van axioma 1 weten we dat er een element \( n \in \N \) bestaat en axioma 3 zegt dat er geen enkele \( x \in \N \) bestaat waarvoor geldt dat \( S(x)=n \) , in het bijzonder geldt er dus dat \( S(n)=n \) onwaar is, oftewel \( S(n) \neq n \) . Hieruit kunnen we dus concluderen dat \( n \) een element is van de verzameling \( X \) .

Stel dat \( x \in X \) , dan geldt er dus \( S(x) \neq x \) , waaruit volgt dat \( S(S(x)) \neq S(x) \) . Immers als dit onwaar zou zijn, dan zou er dus gelden \( S(S(x))=S(x) \) en zou er volgens axioma 4 ook gelden \( S(x)=x \) , maar we begonnen juist met de geldigheid van de uitspraak \( S(x) \neq x \) . Op logische gronden is de uitspraak \( S(S(x)) \neq S(x) \) dus waar.

Wegens axioma 5 mogen we dan concluderen dat \( X=\N \) en de uitspraak \( S(x) \neq x \) dus waar is voor alle \( x \in \N \) , hetgeen precies is wat we wilden bewijzen. \( \Box \)

Vervolg #

Het vervolg van deze pagina is nog onder constructie.

Bibliografie #

  1. E. Landau, Foundations of Analysis, 2001.
  2. PBS Infinite Series, What Does It Mean to Be a Number? (The Peano Axioms) | Infinite Series, 2018. [Online]. Available: www.youtube.com/watch?v=3gBoP8jZ1Is